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By Rolf Klein

Wie bestimmt guy in einer Menge von Punkten am schnellsten zu jedem Punkt seinen n?chsten Nachbarn? Wie l?sst sich der Durchschnitt von zwei Polygonen berechnen? Wie findet guy ein Ziel in unbekannter Umgebung? Mit solchen und ?hnlichen Fragen besch?ftigt sich die Algorithmische Geometrie, ein Teilgebiet der Informatik, dessen Entwicklung etwa 1975 begann und seitdem einen st?rmischen Verlauf genommen hat. Dieses Lehrbuch gibt eine Einf?hrung in h?ufig verwendete algorithmische Techniken wie Sweep, Divide-and-Conquer, randomisierte inkrementelle Konstruktion, Dynamisierung, amortisierte Kostenanalyse und kompetitive examine. Es stellt wichtige geometrische Strukturen vor wie konvexe H?lle, Voronoi-Diagramm und Delaunay-Triangulation sowie h?herdimensionale Datenstrukturen. Die vorliegende zweite Auflage wurde gr?ndlich ?berarbeitet. Sie enth?lt ?ber 60 ?bungsaufgaben mit L?sungen. Ferner bietet ein Geometrie-Labor mit Java-Applets die M?glichkeit, mit geometrischen Strukturen und Algorithmen zu experimentieren.

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Example text

Dieses h¨ ubsche Problem ist unter dem Namen maximum subvector bekannt. Es findet sich in der lesenswerten Sammlung Programming Pearls von J. Bentley [15]. Die naive Berechnung der maximalen Teilsumme f¨ uhrt zu einem Algorithmus mit drei geschachtelten for-Schleifen f¨ ur i, j und einen Summationsindex k; seine Laufzeit ist in Θ(n3 ).

Sei T einer dieser B¨aume. Aus jedem seiner v Knoten f¨ uhrt genau eine Kante heraus; bei dieser Betrachtung werden genau die d Kanten doppelt erfaßt, die in beide Richtungen orientiert sind. Also ist e = v − d, und durch Einsetzen dieser Gleichung und f = 1, c = 1 in die Eulersche Formel v − e + f = c + 1 ergibt sich d = 1. Jeder Teilbaum T von G enth¨alt also genau eine doppelt orientierte Kante. 2 bezeichne mi die Anzahl der Kanten auf dem Rand der i-ten Fl¨ache. Dann muß stets mi ≥ 3 gelten, weil G schlicht und nicht leer ist.

Das sollte man dann explizit erw¨ ahnen, weil es einen Einfluß auf die prinzipielle Leistungsf¨ ahigkeit des Modells haben kann. Die Ausf¨ uhrung eines jeden Befehls (Rechenoperation, Speicherzugriff oder Test mit Programmsprung) z¨ahlt als ein Elementarschritt der RAM. Dieses Modell ist einem realen Rechner ¨ahnlich, soweit es die prinzipielle Funktionsweise des Prozessors und die Struktur des Hauptspeichers betrifft. Ein wesentlicher Unterschied besteht aber darin, daß in einer Zelle eines realen Hauptspeichers nur ein Wort fester L¨ ange Platz hat und nicht eine beliebig große Zahl.

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