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By V.Barutello, M.Conti, D.L.Ferrario, S.Terracini, G.Verzini

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B) Studiare il segno del tasso di crescita della popolazione al variare della popolazione stessa (supporre p(t) > 0). 30 Equazioni differenziali (c) Determinare l’espressione analitica delle soluzioni non costanti assumendo p(0) = p0 > 0 individui. (b) y′ (x) = y2 (x) + x2 − 1; (c) y′ (x) = x2 − y2 (x). 10 Un modello per la diffusione di un’epidemia si ba- b 17 Trovare le soluzioni delle seguenti equazioni difsa sull’ipotesi che la velocità di propagazione sia conferenziali a variabili separabili prestando particolare temporaneamente proporzionale al numero di individui attenzione agli intervalli in cui sono definite.

Data una serie di potenze sempre una delle seguenti situazioni ∞ n=0 cn (x La dimostrazione si trova nell’approfondimento a pagina 39. − x0 )n si verifica ① la serie converge solo per x = x0 ; ② la serie converge assolutamente per ogni x ∈ R; ③ esiste un numero reale R > 0 tale che la serie converge assolutamente per ogni valore di x con |x − x0 | < R e non converge per |x − x0 | > R. Si dice che la serie ha raggio di convergenza nullo nel primo caso, infinito nel secondo e R nell’ultimo caso. Ricordiamo che si dice che una serie converge assolutamente quando converge la serie dei valori assoluti dei suoi termini n |an |.

La somma di una serie di potenze f (x) = ∞ n=0 cn (x − x0 )n = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )2 + c3 (x − x0 )3 + . . è derivabile (e quindi continua) nell’intervallo di convergenza (x0 −R, x0 + R). Inoltre risulta, per ogni x ∈ (x0 − R, x0 + R) (2) f ′ (x) = ∞ n=0 (n + 1)cn+1 (x − x0 )n f ′ (x) = ∞ n=0 ncn (x − x0 )n−1 . = c1 + 2c2 (x − x0 ) + 3c3 (x − x0 )2 + 4c4 (x − x0 )3 + . . x ∞ cn−1 (x − x0 )n n x 0 n=1 (3) c2 c1 = c0 (x − x0 ) + (x − x0 )2 + (x − x0 )3 + . . 2 3 I raggi di convergenza delle serie in (2) e (3) sono entrambi R.

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