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By Oliver Deiser (auth.)

Das Buch, das nun in verbesserter und erweiterter Auflage vorliegt, gibt eine systematische und verständliche Einführung in die folgenden Themen der mathematischen research: Reelle und komplexe Zahlen, Folgen und Reihen, Stetige Funktionen, Differentiation. Es wendet sich speziell an Studierende des Lehramts Mathematik an Gymnasien, ohne dabei den Anschluss an das Fachstudium zu verlieren. Neben etwa 2 hundred Übungsaufgaben enthält es zwölf Sektionen mit Ergänzungsübungen, die die Anbindung des neu erlernten Wissens an das Schulwissen erleichtern. In einem zweiten Band werden neben einer ausführlichen Darstellung der Integration, topologischer Grundbegriffe und der mehrdimensionalen Differentiation auch Fourier-Reihen, gewöhnliche Differentialgleichungen und die mehrdimensionale Integration im Überblick vorgestellt.

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Die Vorstellung „‫ ޒ‬besteht im Wesentlichen aus ‫ ޑ‬und den Wurzeln und π und e“, die wir aus der Schule oft mehr oder weniger bewusst mitnehmen, ist mit der Vorstellung, dass jede Folge von Nachkommastellen eine reelle Zahl definiert, unvereinbar. Das Meer aller Nachkommafolgen ist gewaltig, die zu rationalen oder algebraischen Zahlen gehörigen Folgen sind dagegen nur ein paar Tropfen. Die reellen Zahlen sind also weitaus komplizierter, als man meinen möchte, und die vertraute Dezimaldarstellung reeller Zahlen beginnt Fragen aufzuwerfen: Was heißt eigentlich „beliebige Folge von Nachkommastellen“?

Abschnitt Reelle und komplexe Zahlen Konsequenzen des Vollständigkeitsaxioms Die Vollständigkeit der reellen Ordnung wird in der Analysis an vielen wichtigen Stellen benutzt. Als eine erste Anwendung zeigen wir: Satz (Archimedische Anordnung der reellen Zahlen) Für alle x ∈ ‫ ޒ‬mit x > 0 gilt: (a) Die Menge { n x | n ∈ ‫ } ގ‬ist unbeschränkt. (b) inf({ x/n | n ≥ 1 }) = 0. Beweis zu (a): Sei x > 0, und sei X = { n x | n ∈ ‫} ގ‬. Annahme, s = sup(X) existiert. Dann ist s − x keine obere Schranke von X, also existiert ein n* mit s − x < n* x.

In jedem Körper gilt aber Nullteilerfreiheit, d. h. x ⋅ y ≠ 0 für alle x, y ≠ 0 (vgl. die Übungen). Rq erfüllt aber alle Körperaxiome außer (K7), sodass in der Sprache der Algebra ein kommutativer Ring (mit Eins) vorliegt. Die sog. Restklassenkörper Rp zeigen, dass wir mit Aussagen wie „(K1) − (K10) implizieren alle üblichen Rechengesetze“ vorsichtig sein müssen. Diese durchaus angemessene Sprechweise beinhaltet nicht, dass 1 + 1 ≠ 0 ist. Das ModuloRechnen zeigt, dass es natürliche algebraische Strukturen gibt, in denen ein Aufsummieren der 1 zur 0 führen kann.

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