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By Wolfgang Walter (auth.)

Das Hauptthema dieses zweiten Bandes ist die Differential- und Integralrechnung f?r Funktionen von mehreren Ver?nderlichen. Dabei wird auch das Lebesguesche indispensable im ?n behandelt. Dem erfolgreichen Konzept von Analysis 1 folgend, wird viel Wert auf historische Zusammenh?nge, Ausblicke und die Entwicklung der research gelegt. Zu den Besonderheiten, die ?ber den kanonischen Stoff des zweiten Semesters hinausgehen, geh?ren das Morsesche und das Sardsche Lemma, die C?- Approximation von Funktionen (Mollifiers) und die Theorie der absolutstetigen Funktionen. Die Grundtatsachen ?ber die verschiedenen Integralbegriffe werden allesamt aus S?tzen ?ber den Netzlimes abgeleitet. Bei den Fourierreihen wird die klassische Theorie in Weiterf?hrung einer von Chernoff und Redheffer entwickelten Methode behandelt. Zahlreiche Beispiele, ?bungsaufgaben und Anwendungen, z.B. aus der Physik und Astronomie, runden dieses Lehrbuch ab.

Der Abschnitt "L?sungen und L?sungshinweise" wurde f?r die Neuauflage wesentlich erweitert, so da? die ?berwiegende Zahl der Aufgaben im Buch nun besprochen oder vollst?ndig gel?st wird.

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1 y, wenn (x, y) = 0 ist. Eine Menge {XIX EX: IX E J} heißt ein Orthogonalsystem, wenn dessen Vektoren paarweise orthogonal sind, bzw. ein Orthonormalsystem, wenn zudem jeder Vektor die Länge 1 hat, IXIXI = 1. l Y . Der Nachweis dafUr ist im obigen Beweis der Dreiecksungleichung enthalten. Beispiele. 1. Der n-dimensionale euklidische Raum IR". 1 definierte Produkt X· Y = + ... + X"Y" ist ein Innenprodukt auf IR", die davon gemäß (N) erzeugte Norm gerade die Euklid-Norm lxi. Dieser Raum, der n-dimensionale euklidische Raum, ist vollständig, also ein Hilbertraum.

Abstands/unktion. Es sei A eine nichtleere Teilmenge des metrischen Raumes X. Die Abstandsfunktion d(x,A) = inf{d(x,a) : a E A} (hier ist Y = IR) genügt der Lipschitzbedingung ftir Id(x,A) ~d(y,A)I:::; d(x,y) Zu ist E > 0 gibt es nämlich ein a E A mit d(y,A) > x,y EX. d(y,a) ~ d(x, A) ~ dry, A) < d(x,a) ~ d(y,a) aufgrund der Dreiecksungleichung. Also ist d(x, A) triegründen darf man hier x und y vertauschen. +E E, :::; und wegen d(x,A) :::; d(x,a) d(x,y) +E ~ dry, A) :::; d(x, y), und aus Symme- 2.

Als ein Beispiel für einen unendlich-dimensionalen Vektorraum betrachten wir den Raum aller reellen Zahlenfolgen x = (Xj)1=1 mit konverX] < 00. In diesem mit 12 bezeichneten Raum wird durch genter Quadratsumme L;:l L XjYj 00 (x, y) := j=l ein Innenprodukt definiert, welches die Norm Ilxll = J(2; = y'xi + x~ + x~ + ... 11 Innerer Punkt, Randpunkt, Häufungspunkt erzeugt. 24. Aus ihr folgt, daß die Reihe Z>jYj absolut konvergent, also das Innenprodukt (x, y) für x, Y E [2 immer definiert ist. Der Nachweis, daß [2 ein reeller Innenproduktraum ist, bereitet keine Schwierigkeiten (aus x, y E [2 folgt x + Y E [2 mit Hilfe der Cauchyschen Ungleichung).

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