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B) Zu jedem xEK*:=K\{O} gibt es ein zEK* mit x·z=1 (multiplikatives Inverses). Die Axiome (K1)(a), (K2)(a), (K4)(a) und (K5)(a) besagen zusammen, daß K eine (kommutative) Gruppe bildet bezüglich der Addition, die entsprechenden Axiome (b), daß K* eine Gruppe bildet bezüglich der Multiplikation. Die beiden Operationen sind verknüpft durch das Distributivgesetz (K 3); seiner Schreibweise liegt die Vereinbarung zugrunde, daß das ·-Zeichen "enger binder' als das +-Zeichen - eigentlich müßte man ja schreiben x·(y+z)=(x·y)+(x·z).

F/;A'. Hiernach besitzt A' die Eigenschaft (SO). (S1) ist trivialerweise erfüllt. Ist endlich eEA' und wurde ein 15>0 so gewählt. EA, so ist auch e-bEA', denn es gilt Nun zur eigentlichen Behauptung. >O, ist natürlich A' +AcSo. Es sei jetzt umgekehrt 215>0 ein beliebiges Element von So. 1) gibt es ein AEA mit A-bjA. EA. 5)+AEA' + A. Also gilt auch So c A' + A, womit (3) vollständig bewiesen ist. J 46 4. Vervollständigung von CQ In Übereinstimmung mit unserer seinerzeitIgen Konvention (Abschnitt 21) schreiben wir im folgenden - A anstelle von A'.

Analog heißt die größte untere Schranke von A das lnfimum von A und wird mit infA bezeichnet. Ist die Menge A nach oben bzw. nach unten unbeschränkt, so schreibt man supA:=oo bzw. infA:= -00. Wir behaupten nun: Das Axiom (OV) ist äquivalent mit dem folgenden: (OV') Jede nichtleere nach oben beschränkte Menge AcM besitzt eine kleinste obere Schranke SUpAEM. I (OV') folgt aus (OV), indem man dort ftir B die nach Voraussetzung nichtleere Menge der oberen Schranken von A nimmt; es ist dann supA =c.

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