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By Christiane Tretter (auth.)

Dieses kompakte Lehrbuch ist der zweite von zwei einführenden Bänden in die research. Es zeichnet sich dadurch aus, dass es alle klassischen Themen der research II genau im Umfang einer vierstündigen Vorlesung präsentiert und gleichzeitig auf typische Schwierigkeiten im ersten Studienjahr eingeht. Insbesondere bietet es vorlesungserprobte plakative Erläuterungen von anfangs ungewohnten abstrakten Begriffen und allgemein nützliche Tipps für die Vorbereitung auf schriftliche oder mündliche Prüfungen. Beginnend mit der Topologie metrischer Räume über die Differentialrechnung von Funktionen mehrerer reeller Variabler bis zu gewöhnlichen Differentialgleichungen und Fourierreihen, enthält das Buch alle wesentlichen und prüfungsrelevanten Inhalte. Dem besseren Verständnis dienen illustrierende Beispiele, Gegenbeispiele und Übungsaufgaben sowie zahlreiche Hinweise auf Zusammenhänge mit bereits bekannten Resultaten aus der research I.

Das Buch wendet sich an alle, die eine Vorlesung in research II besuchen, additionally Studierende der Mathematik, der Physik und der Informatik. Es eignet sich aber auch direkt als Vorlesungsmanuskript für Dozierende.​

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Die Richtungsableitung von f in Richtung v existiert genau dann, wenn die nur von der Variablen t abhängige Funktion fx0 ,v : (−", ") → F, fx0 ,v (t) := f (x0 + tv), in t = 0 differenzierbar ist (beachte fx0 ,v (0) = f (x0 )). ). Es seien Df ⊂ E offen, f : Df → F eine Funktion und x0 ∈ Df . Ist f (total) differenzierbar in x0 , so existieren die Richtungsableitungen von f in x0 in alle Richtungen v ∈ E \ {0}, und es gilt ∂f (x0 ) = Df (x0 )v. 18 Beweis. Es sei x0 ∈ Df und v ∈ E \ {0} beliebig gewählt.

H. ei = (ıij )nj=1 , i = 1, . . , n. 29]): n T(xi )ni=1 F = T n xi ei i=1 n ≤ |xi | i=1 = (xi )ni=1 2 1 2 F n = xi Tei i=1 n Tei 2 F 1 2 F ≤ |xi | Tei F i=1 = C (xi )ni=1 . i=1 =:C 5 Differenzierbarkeit In diesem Abschnitt verallgemeinern wir den Begriff der Differenzierbarkeit auf Funktionen zwischen normierten Räumen, insbesondere für den Fall E = Rn , F = Rm mit n, m ∈ N. 10 30 II Differentialrechnung in Rn Den Spezialfall von Funktionen einer reellen Variablen, E = R, haben wir in Analysis I kennengelernt ([32, Kapitel VII]).

3 müssen wir nur zeigen, dass T beschränkt ist. Dazu sei {e1 , . . h. ei = (ıij )nj=1 , i = 1, . . , n. 29]): n T(xi )ni=1 F = T n xi ei i=1 n ≤ |xi | i=1 = (xi )ni=1 2 1 2 F n = xi Tei i=1 n Tei 2 F 1 2 F ≤ |xi | Tei F i=1 = C (xi )ni=1 . i=1 =:C 5 Differenzierbarkeit In diesem Abschnitt verallgemeinern wir den Begriff der Differenzierbarkeit auf Funktionen zwischen normierten Räumen, insbesondere für den Fall E = Rn , F = Rm mit n, m ∈ N. 10 30 II Differentialrechnung in Rn Den Spezialfall von Funktionen einer reellen Variablen, E = R, haben wir in Analysis I kennengelernt ([32, Kapitel VII]).

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