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By Emmanuel Trélat

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11. 12. 2 On peut facilement vérifier que le système est contrôlable. Par aîlleurs le système adjoint s'écrit . Pl = 0, P2 = -Pl - 2p 21 et le contrôle extrémal est Il = signe(p 1)' On a facilement PI este, puis 1 P2 (t ) 1 + ,,\e -21. En particulier P2 (t) est strictement monotone donc le ,Ii 1 Exemples 47 contrôle a au plus une commutation. En posant XI (t) = x2 (I) -i(t -i + to} + ~ (X2 (to) + (x 2(tO) + ~) = c n li ±1 on intègre aisément (e 2(t-to) - 1) + ·~I (to), e2(t-t,d. 12). Notons le changement .

De partir du point final et d'atteindre le point initial. 7. l:împlémentation numérique de cet exemple est très facile à faire. Nous la ferons plutôt dans Je cas non linéaire où elle est plus intéressante. 2. 1. [49] Considérons le système de contrôle x y + u, y -y + u, lu 1~ Le but est de joindre en temps mÎnimal la droite x droite. 44 ! Temps-optimalité 1. 10. Synthèse optimale Remarquons tout d'abord que si une trajectoire reste dans x = 0, cela implique -u(t), et donc Iyl ~ 1. Réciproquement de tout point (O)y) avec Iyl ~ 1 part une trajectoire restant dans le lieu x 0, Iy!

15) De plus, pour tout t E [0, T], la matrice E (t) est symétrique, et 5 T (x) = (D)x. 13. En particuJîer le théorème affirme que le contrôle optimalu se met sous forme de boucle fermée ll(t) = K(t)x(t), où K(t) = U(t)-lB(t)TE(t). Cette forme se prête bien aux problèmes de stabilisation, comme nous le verrons plus loin. 11. 9, il existe une unique trajectoire optimale qui. 10, est caractérisée par le système d'équations Je =Ax+BU-1BTpT, p = -pA +xTW, avec x (0) =x et p (T) = -x(T) T O. De plus le contrôle s'écrit u = U- 1BT p T.

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