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By Joachim Erven

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V  K n Eigenwert bzw. Eigenvektor von A, wenn sie dies für die lineare Abbildung v  A  v sind, wenn also gilt:  v1   v1      A         v  v   n  n Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer linearen Abbildung bzw. einer Matrix sind stets linear unabhängig. 5 Eigenwerte 53 Zur praktischen Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix geht man wie folgt vor: 1. Mit festem λ  K berechne man p A ( )  det ( A  E)  a11     an1 a1n   .  ann   Dies ist ein Polynom vom Grade n, das charakteristische Polynom von A.

1: Die trigonometrischen Funktionswerte am Einheitskreis bezeichneten Winkel und den Koordinaten des Punktes auf der Kreisperipherie, die zur Definition der trigonometrischen Funktionswerte führt: Mit cos x wird die Abszisse und mit sin x die Ordinate des durch den gerichteten Winkel x eindeutig bestimmten Punktes Px auf dem Einheitskreis bezeichnet. Daraus ergeben sich sofort folgende elementaren Eigenschaften von Kosinus und Sinus (Entsprechendes gilt im Bogenmaß – dann ist jedoch „90°“ durch „ 2 “ etc.

Z3) Das -Fache der i-ten Zeile wird zur j-ten addiert und ergibt die neue j-te Zeile. Diese elementaren Zeilenoperationen lassen sich auch durch Multiplikation mit so genannten – quadratischen – Elementarmatrizen von links ausdrücken, und zwar: 1. Für i  j bezeichne Vij diejenige Matrix, die aus der Einheitsmatrix durch Vertauschen von i-ter und j-ter Zeile hervorgeht. Vij  A entspricht dann (Z1). 2. Für λ  R* bezeichne M i diejenige Diagonalmatrix, die an der i-ten Stelle mit λ und sonst mit lauter Einsen besetzt ist.

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