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By H Cartan

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R·. En effet, raisonnons par l'absurde, en supposant que f ne prenne pas la valeur a. La restriction de f aux cercles concentriques de centre 0 définit une déformation continue du chemin fermé y en un point. Par conséquent l'intégrale 1~ TZ- a est nulle, contrairement à l'hypothèse. Définition. Soient YI ët YI deux chemins fermés ne passant pas par l'origine o. On appelle produit de ces deux chemins le chemin fermé défini par l'application lI. Fonctions holomorphes, intégrale de Cauchy où le point désigne la multiplication des nombres complexes ï 1 (t) et Ys(t)· PROPOSITION 8.

X· une série entière dont le rayon de convern~O sa somme pour Ixl < p. Alors S(x) est une fonction analytique dans le disque Ixl < p. Ce résultat n'est nullement évident. suivant, plus précis: PROPOSITION 2. 2. Sous les hypothèses de la proposition 2. l, soit Xo tel que 1Xo 1< p. Alors la série entière }: -;- s- p -Ixol, et l'on a pour - 37 1. Séries entières à une variable Démo1J,Stration de la proposition Pour r 0 2. 2. Posons ro = Ixol, otn = lanl. On a < r < p, on a >- Donc le rayon de convergence de la série (2.

D. 6. DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DU LOGARITHME COMPLEXE PROPOSITION 6. qui converge pour 34 1. La somme de la série entière lui < l, est égale à la détermination principale de log (1 + u). § 3. Fonction exponentielle et fonction logarithmique Observons d'abord que si lui < I, t = I + u reste dans un disque ouvert contenu dans le demi-plan Re(t) > o. Reprenons alors les notations de la relation (2. 4), et rappelons que les séries S et T sont réciproques l'une de l'autre; la proposition 5. I du § 2 montre que l'on a S(T(u» = u pour tout nombre complexe u tel que lui < I.

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